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페아노 공리계(r8)

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분류
1. 개요2. 정의

1. 개요 [편집]

학부 집합론 시간에 배우는 형식적인(formal) 자연수의 정의 및 공리계(axiomatic system).

현대대수 시간에도 배울 수 있긴 한데 딥하게 가르치는 쪽은 아무래도 집합론이다. 그야 대수에서는 자연수에서 다른 구조로 가는 준동형 사상을 찾기 위한 징검다리로 쓸 뿐, 자연수 자체는 군도 아니고 수학적으로 별 유의미한 구조가 아니기 때문. 정확히는 페아노 공리계 위의 자연수는 monoid를 형성한다.

2. 정의 [편집]

총 다섯 가지 공리들(axioms)로 구성된다. 편의상 'xx가 자연수이다'라는 predicate를 N(x)N(x)라 표현했다.
  1. ∃e(N(e))\exists e(N(e)) (자연수 ee가 존재한다.)
  2. ∃S∀n(N(n)→N(S(n)))\exists S \forall n(N(n) \to N(S(n))) (모든 자연수 nn에 대해, 따름수(successor) S(n)S(n) 역시 자연수이게 하는 SS가 존재한다.)
  3. ∀n(N(n)→¬(S(n)=e))\forall n(N(n) \to \neg (S(n) = e)) (ee는 그 어떤 자연수의 따름수도 아니다.)
  4. ∀n∀m(N(n)∧N(M)→(S(n)=S(m)  ⟺  n=m))\forall n \forall m (N(n) \land N(M) \to (S(n) = S(m) \iff n = m)) (SS가 injective하다.)
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